Warum ist der Querschnitt der Getriebewelle kreisförmig? Erklärt

1. Mechanische Analyse der Torsion

1. Torsionsform

(1) Konvention über Drehmomentsymbole

Abb. 1 Richtung und Symbol des Drehmoments

(2) Torsionsverformung eines Stabes mit kreisförmigem Querschnitt

Nach dem Verdrehen einer Welle mit kreisförmigem Querschnitt bleiben Form und Größe des Profils gleich und es bleibt flach. Der Radius des Profils bleibt als Achse erhalten, um die das Profil verdreht wird, und jedes Profil dreht sich nur um einen kleinen Winkel γ relativ zu den anderen.

Abb. 2 Torsionsverformung eines Stabes mit rundem Querschnitt

(3) Verdrehung eines Stabes mit nicht kreisförmigem Querschnitt

Abb. 3 Torsionsverformung eines Vierkantstabs

Freie Verdrehung:

Wenn ein Stab einen nicht kreisförmigen Querschnitt hat, verzieht er sich während der Torsionsverformung. Der Grad der Verformung benachbarter Querschnitte ist gleich, was bedeutet, dass sich die Länge aller Längsfasern im Stab nicht ändert. In diesem Fall treten keine Normalspannungen auf den Querschnitt auf, sondern nur Scherspannungen.

Um eine freie Torsion zu erreichen, müssen die beiden Enden des geraden Stabes mit einem äußeren Drehmoment belastet werden, und die Verformung benachbarter Abschnitte sollte nicht von außen eingeschränkt werden.

Beschränkte Torsion:

Wenn ein ungleichmäßiger gerader Stab verdreht wird, ändert sich das aufgebrachte Drehmoment über die Länge des Stabes. Wenn ein Ende des Stabes fixiert ist und sich nicht bewegen kann, ist der Grad der Verformung der angrenzenden Abschnitte des Stabes unterschiedlich. Zusätzlich zu den Scherspannungen treten auch Normalspannungen auf den Querschnitt des Stabes auf.

Normalerweise ist die durch eingeschränkte Torsion verursachte Normalspannung in einem massiven Stab gering und kann vernachlässigt werden. Bei dünnwandigen Stäben ist diese Normalspannung jedoch oft zu groß, um vernachlässigt zu werden.

2. Grundlegende Annahmen

(1) Hypothese der Ebene

Nach der Verdrehung bleibt der kreisförmige Abschnitt flach, und seine Form, Größe und sein Radius bleiben unverändert. Die Abschnitte drehen sich relativ zueinander nur um einen kleinen Winkel γ. Diese Annahme gilt jedoch nur für die Achse des kreisförmigen Abschnitts und nicht für die Achse der nicht kreisförmigen Abschnitte.

Der Abstand zwischen benachbarten Abschnitten bleibt gleich, außer wenn τzx = τzy ist, was bedeutet, dass keine Normalspannung vorliegt.

σ x= σ y= σ z= τ xy=0.

Das Elastizitätsmodell ist in Abb. 4 dargestellt.

Abb. 4 torsionselastisches mechanisches Modell eines geraden Stabes

(2) MEmbrane-Analogie

Prandtl wies darauf hin, dass die Durchbiegung eines dünnen Flüssigkeitsfilms, der auch als Membran bezeichnet wird, unter gleichmäßigem Druck mathematisch der Spannungsfunktion beim Torsionsproblem eines geraden Stabes mit gleichem Querschnitt ähnelt.

Der Vergleich des Torsionsstabs mit der Membran kann bei der Lösung des Torsionsproblems hilfreich sein.

In Abbildung 5 ist ein gleichmäßiger Film auf eine horizontale Begrenzung gespannt, die die gleiche Form und Größe wie die Querschnittsbegrenzung eines Torsionsstabs hat.

Wenn ein kleiner gleichmäßiger Druck auf die Folie ausgeübt wird, erfährt jeder Punkt der Folie einen kleinen Durchhang.

Wenn die Ebene, in der sich die Begrenzung befindet, die xy-Ebene ist, kann die Durchbiegung durch z dargestellt werden.

Aufgrund der flexiblen Beschaffenheit der Folie wird davon ausgegangen, dass sie weder einem Biegemoment noch einem Drehmoment, einer Scherkraft oder einem Druck standhalten kann. Sie hält nur einer gleichmäßigen Zugkraft FT stand, die der Oberflächenspannung eines Flüssigkeitsfilms ähnlich ist.

Nach dieser Analyse ist die Schubspannung an einem beliebigen Punkt des Querschnitts des Torsionsstabs in einer beliebigen Richtung gleich der Steigung der Folie in vertikaler Richtung an diesem Punkt.

Es ist festzustellen, dass die maximale Scherspannung am Querschnitt des Torsionsstabs gleich der maximalen Neigung der Membran ist. Es ist jedoch zu beachten, dass die Richtung der maximalen Scherspannung senkrecht zur Richtung der maximalen Neigung verläuft.

Unter dieser Annahme ist es möglich, die maximale Scherspannung und den relativen Verdrehungswinkel des in Tabelle 1 aufgeführten geraden Stabes mit unrundem Querschnitt zu bestimmen.

Abb. 5 Analogiemodell der Membranen

3. Berechnung von Torsionsschubspannung und Torsionswinkel

(1) Massive runde Welle

Unter den Annahmen 1 und 2 liegen die mechanischen Eigenschaften von Kunststoffen bei reiner Scherung im elastischen Bereich, wenn die Komponentenmaterialien im elastischen Bereich liegen:

τ= G γ,γ ist die Scherdehnung;

γ=φ R/L( γ ist der relative Verdrehungswinkel zweier Abschnitte in einem Abstand von L;

φ ist die Ecke der Stirnfläche des Torsionsendes, R ist der äußere Radius des Kreises und L ist der Abstand zwischen zwei Abschnitten).

Abb. 6: Schematische Darstellung der Torsion eines Stabes mit massivem Kreisquerschnitt

Die Schubspannung bei ρ auf dem kreisförmigen Abschnitt ist:

Unter der gleichen Drehmomentbedingung ist die Schubspannung (τ) an einem Stab mit kreisförmigem Querschnitt proportional zum Abstand von der Mitte des Querschnitts (ρ). Dies bedeutet, dass die Schubspannung umso höher ist, je größer der Abstand vom Mittelpunkt ist.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt gleich dem Radius (R) des Kreisquerschnitts ist, wird die maximale Schubspannung am Rand erreicht.

Das Torsionsmodul (Wp) einer kreisförmigen Welle kann als IP/R ausgedrückt werden, wobei IP das polare Trägheitsmoment ist. Dieser Wert hängt nur von den geometrischen Abmessungen des Profils und nicht von der Querschnittsfläche ab.

Die maximale Scherspannung (τ max) kann als T/WP berechnet werden, wobei T das aufgebrachte Drehmoment ist.

Bei einer Vollwelle mit kreisförmigem Querschnitt ist das Torsionswiderstandsmoment (WP) ungefähr gleich dem 0,2-fachen des Kubus des Durchmessers (D).

Der Torsionswinkel (φ) eines Rundstabs unter Torsion hängt mit der Torsionssteifigkeit (GIP) des Kreisquerschnitts zusammen, die die Fähigkeit der Welle widerspiegelt, Verformungen zu widerstehen.

Die relativen Verdrehungswinkel von zwei Profilen im Abstand L können mit einer Verdrehungsformel berechnet werden.

Relativer Verdrehungswinkel:

Steifigkeitszustand der runden Welle:

(2) Hohle runde Welle

Der Querschnitts-Torsionskoeffizient der kreisförmigen Hohlwelle beträgt etwa: WP ≈ 0.2D3 (1- α 4),0< α= d/D<1.

Wenn α= 0,8 ist, beträgt der WP 60% des massiven Kreisquerschnitts, d. h. bei gleichem Drehmoment nimmt die Festigkeit um 40% ab, aber bei gleichem Material und gleicher Länge beträgt der Gewichtsunterschied das 2,8-fache.

(3) Geschlossenes dünnwandiges Rohr

Ein Rundrohr mit einer Wandstärke (a), die viel kleiner ist als sein Radius (R0) - typischerweise ≤ R0/10 - wird als dünnwandiges Rundrohr bezeichnet. Diese Art von Rohr kann eine beliebige Form und einen gleichen Querschnitt haben.

Da es sich um ein dünnwandiges Rohr handelt, wird angenommen, dass die Schubspannung gleichmäßig über die gesamte Wandstärke (t) verteilt ist, um eine Näherungslösung zu erhalten.

Die Anwendung der Regel der reziproken Schubspannung führt zu der Schlussfolgerung, dass das Produkt aus der durchschnittlichen axialen Schubspannung aller Punkte des Rohrabschnitts und der Rohrwand gleich ist, d. h. der Scherfluss (q) ist konstant.

Da der Wert von q über den gesamten Querschnitt konstant ist, liegt die maximale Schubspannung bei der minimalen Wanddicke.

Wenn der Rohrabschnitt kreisförmig ist, ist seine Fläche (Am) gleich πR0². Eine Vergrößerung des Durchmessers des Zylinders kann die Scherspannung erheblich verringern.

4. Spannungsverteilung des Wellenquerschnitts

Abb. 6: Scherspannungsverteilung mehrerer gängiger Schnitte

2. Versagensart Torsion

1. Reihenfolge der Zerstörung

Bei der Torsionsprüfung ist die Spannungsverteilung über den Querschnitt der Probe ungleichmäßig. Die Oberfläche wird am stärksten beansprucht, und je weiter man sich zur Mitte hin bewegt, desto geringer wird die Spannung.

Wenn das Material verdreht wird, beginnt der Schaden in der äußersten Schicht des Rundstabs und schreitet nach innen fort. Der Riss geht von der Oberflächenschicht aus und breitet sich nach innen aus.

In der Technik wird der Torsionstest üblicherweise zur Untersuchung von Oberflächenfehlern und der Leistung von Oberflächenhärtung Schichten in Materialien.

Wie in Abb. 7 dargestellt.

Abb. 7 Torsionsprüfung einer Rundstabprobe

2. Kunststoffmaterialien

Bei der Torsion einer kreisförmigen Welle aus plastischen Werkstoffen wie Stahl mit niedrigem Kohlenstoffgehalt gibt zuerst die Oberfläche der Welle nach, und dann wird der Umfang entlang des Querschnitts abgeschnitten, wenn die Torsionsverformung zunimmt.

Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Scherfestigkeit des Materials geringer ist als seine Zugfestigkeit, und die maximale Scherbeanspruchung im Querschnitt auftritt, was zu Scherversagen führt.

In der Technik wird die maximale Schubspannung an der Außenkante des Querschnitts in der Regel auf die Scherfließgrenze des Materials (τs) als gefährlicher Zustand festgelegt, und der Festigkeitszustand wird auf dieser Grundlage bestimmt.

Doch selbst wenn die Scherspannung an der Kante die Streckgrenze erreicht, befinden sich die anderen Teile noch im linear-elastischen Arbeitszustand, und der Rundstab erfährt keine offensichtliche plastische Verformung, so dass das Drehmoment weiter ansteigen kann.

Unter Berücksichtigung der Materialplastizität ist das Enddrehmoment (plastisches Drehmoment) eines massiven Rundstabs um 1/3 größer als das Streckmoment (das das Ergebnis einer vereinfachten technischen Berechnung ist).

Wenn die Schubspannung am Rand des Materialquerschnitts die Scherfließgrenze des Materials τs erreicht, dehnt sich der plastische Bereich mit der Zunahme des Torsionsmoments allmählich nach innen aus, und das Material am Rand des Querschnitts beginnt sich zu verfestigen.

Wenn das Torsionsmoment weiter zunimmt, wird der Riss von der äußersten Schicht des Rundstabs ausgehen und schließlich entlang des Querschnitts scheren.

Wie in Abb. 8 dargestellt.

Abb. 8 Torsionsprüfung einer Rundstabprobe aus Kunststoff

3. Spröde Materialien

Bei einer runden Welle aus sprödem Material wie Gusseisen mit einer geringeren Zug- als Scherkapazität ist die Verformung bei einem Torsionsbruch minimal. Die Welle neigt dazu, an der schraubenförmigen Oberfläche in einem Winkel von etwa 45° zur Achse zu brechen.

Der Grund dafür ist, dass die schräge Ebene in einem Winkel von 135° zur Achse die höchste Zugspannung erfährt. Wenn die maximale Zugspannung in diesem Abschnitt die Zugfestigkeit des Materials überschreitet, versagt die Welle aufgrund der Spannung in diesem Abschnitt.

Wie in Abb. 9 dargestellt.

Abb. 9 Torsionsprüfung einer Rundstabprobe aus sprödem Material

4. Torsionsversagen von Baumstämmen

Das innere Drehmoment T, das der Rundstab aufnimmt, erzeugt nicht nur eine radiale lineare Verteilung der Schubspannung auf den Querschnitt, sondern induziert auch eine entsprechende Schubspannung entlang der axialen Ebene, was zu Rissen entlang der axialen Ebene führen kann.

Da Holz ein anisotropes Material ist, ist die Scherkraft parallel zu den Fasern in axialer Richtung viel kleiner als die Scherkraft senkrecht zu den Fasern im Querschnitt, was zu dem in Abbildung 10 dargestellten Rissmuster führt.

Abb. 10 Torsionsversagen des Stammes

3. Torsionsfestigkeit der Welle

1. Torsionsfestigkeit von Stäben mit unterschiedlichen Querschnitten

Die Abbildung zeigt die Berechnungsformeln für die maximale Spannung und den Verdrehungswinkel von quadratischen, dreieckigen und elliptischen Profilen gemäß der Analyse der Elastizitätstheorie.

In allen vorgenannten Fällen tritt die maximale Schubspannung an der der Mittelachse am nächsten gelegenen Querschnittsbegrenzungslinie auf.

Bei einem geschlossenen dünnwandigen Rohr erfährt die Stelle mit der geringsten Wanddicke im Verhältnis zur Mittelachse die höchste Schubspannung.

Abb. 11 Berechnungsformel der Torsionsschubspannung und des relativen Torsionswinkels der verschiedenen Querschnitte

S sei die Fläche eines Kreises, eines Quadrats, eines Dreiecks und einer Ellipse, die alle mit dem gleichen Drehmoment T belastet werden.

Die Seitenlänge eines Quadrats beträgt a = √S, während die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks ungefähr a ≈ 2,3√S beträgt.

Nach der in der Abbildung dargestellten Formel zur Berechnung der maximalen Spannung beträgt die maximale Scherspannung auf den Querschnitt eines gleichseitigen Dreiecks bei gleicher Querschnittsfläche und gleichem Drehmoment etwa das 1,8-fache eines Quadrats.

Für eine Ellipse mit a = b, die damit zum Kreis wird, ist a = 0,56√S, und die maximale Schubspannung auf einem Quadrat ist etwa 1,32 mal so groß wie die eines Kreises.

Wenn die Ellipse ein ≠ b hat, mit 1 > b/a = λ > 0, dann ist das Verhältnis der maximalen Schubspannung auf der Ellipse zur maximalen Schubspannung auf dem Kreis λ√S-2. Je kleiner also der Wert von λ ist, desto größer ist die Schubspannung.

Aus dem obigen Vergleich lässt sich schließen, dass:

Wenn eine Welle den gleichen Querschnitt hat und das gleiche Drehmoment aufnimmt, ist die maximale Schubspannung auf dem kreisförmigen Abschnitt im Vergleich zu einem nicht kreisförmigen Abschnitt am geringsten. Außerdem ist auch der Verdrehungswinkel kleiner. Daher hat eine kreisförmige Übertragungswelle einen natürlichen Vorteil bei der mechanischen Torsionsleistung.

Erweitert man diese Erkenntnisse auf beliebige Querschnitte, so lässt sich nachweisen, dass die Welle mit kreisförmigem Querschnitt den höchsten Wirkungsgrad aufweist.

2. Schätzen Sie den Wellendurchmesser entsprechend dem Drehmoment

Wenn eine Welle den gleichen Querschnitt hat und das gleiche Drehmoment aufnimmt, ist die maximale Schubspannung auf dem kreisförmigen Abschnitt im Vergleich zu einem nicht kreisförmigen Abschnitt am geringsten. Außerdem ist auch der Verdrehungswinkel kleiner. Daher hat eine kreisförmige Übertragungswelle einen natürlichen Vorteil bei der mechanischen Torsionsleistung.

Erweitert man diese Erkenntnisse auf beliebige Querschnitte, so lässt sich nachweisen, dass die Welle mit kreisförmigem Querschnitt den höchsten Wirkungsgrad aufweist.

Tabelle 1: Formel zur Überprüfung des Drehmoments für den Wellendurchmesser

Achsentyp

Formel

Anleitung

Vollwelle

Wo:

d - Berechnung des Durchmessers der Welle an der Schnittstelle

(mm)

T-bewertetes, von der Welle übertragenes Drehmoment

(N-mm)

T=9550000P/n

P-bewertete, von der Welle übertragene Leistung

(kW)

n-Wellendrehzahl (R / min)

[T] - zulässige Scherspannung der Welle

(MPa)

A - Koeffizient bestimmt durch [t],

V-Verhältnis von Innendurchmesser d0 zu Außendurchmesser D der kreisförmigen Hohlwelle

Hohlachse

Hohlachse

3. Hohlwelle

Die Oberflächen-Schubspannung einer Welle mit kreisförmigem Querschnitt ist hoch, und die Mitte ist relativ klein, wenn sie eine Torsionslast trägt. Daher kann durch das Entfernen eines Teils des Materials, das in der Mitte nicht voll zum Tragen kommt, das Gewicht der Welle effektiv reduziert und ihre Biegefestigkeit verbessert werden.

Bei der Entscheidung, ob Wellenteile hohl sein sollen oder nicht, müssen jedoch nicht nur mechanische Faktoren, sondern auch technologische und Herstellungskosten berücksichtigt werden. Es ist wichtig zu beachten, dass die Wandstärke nicht zu dünn sein darf, da sonst lokale Falten entstehen können, die zu einem Verlust der Tragfähigkeit führen.

Wenn die Wandstärke (δ) des Zylinders viel kleiner ist als der Radius (R0), der im Allgemeinen als ≤ R0/10 angesehen wird, spricht man von einem dünnwandigen Zylinder. Weist das dünnwandige Rohr jedoch eine Längsöffnung entlang der Achse auf, verringert sich sein Torsionswiderstand erheblich. Daher wird normalerweise eine Membran hinzugefügt, um die Torsionsfestigkeit zu verbessern. Steifigkeit und Festigkeit.

4. Spannungskonzentration

Eine Welle besteht in der Regel aus verschiedenen Abschnitten, und Spannungskonzentrationen an den Übergängen zwischen diesen Abschnitten sind eine häufige Ursache für das Versagen von Wellenteilen.

In der Literatur finden Sie Hinweise zur Auswahl und Bestimmung des großen Durchmessers von zwei benachbarten Abschnitten und der Übergangsleiste.

5. Zylindrische Schraubenfeder

Die zylindrische Schraubenfeder ist ein gängiges Bauteil im Maschinenbau, das durch seine Spiralachse und seine große elastische Verformung gekennzeichnet ist.

Bei der Gestaltung von eine Feder mit einer hohen Tragfähigkeit ist die Festigkeit in der Regel der wichtigste Faktor. Bei einer Feder mit geringer Tragfähigkeit ist dagegen in der Regel die Verformung der wichtigste zu berücksichtigende Faktor.

Bei weniger kritischen Federn kann die Auswahl allein auf der Grundlage der strukturellen Abmessungen und Spezifikationen erfolgen.

Informationen über Konstruktions- und Berechnungsmethoden für Federn finden Sie in der einschlägigen Literatur sowie in den Normen der Reihe GB/T1239, GB/T2089, DIN2089 und anderen geltenden Normen.

4. Scher- und Zugeigenschaften von Materialien

Bei statischer Belastung besteht eine gewisse Beziehung zwischen den mechanischen Eigenschaften von Materialien bei Torsion und Zug, so dass [σZur Bestimmung der zulässigen Scherspannung[ τ]: wird die Materialkennzahl [τ] verwendet.

Art des Materials [σ][ τ][ τ]
Kunststoffmaterial1 0.5~0.7 [σ]0,55 oder 0,577 [σ]
Sprödes Material1 0.7~1.0 [σ]   0.8~1.0 [σ]    

Die obige Tabelle macht deutlich, dass die in der Literatur angegebene Beziehung zwischen Scherspannung und Normalspannung unterschiedlich ist.

Mehrere in der Literatur erwähnte plastische Werkstoffe zeigen, dass das Verhältnis von Scherspannung zu Normalspannung zwischen 0,5 und 0,7 [σ] liegen sollte.

Diese Beziehung ist jedoch eine grobe Schätzung und sollte nur verwendet werden, wenn keine exakten Scherspannungsdaten verfügbar sind.

Für eine genaue Überprüfung ist es erforderlich, den spezifischen Torsionsfestigkeitswert des Materials zu ermitteln.

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Shane
Autor

Shane

Gründerin von MachineMFG

Als Gründer von MachineMFG habe ich mehr als ein Jahrzehnt meiner Karriere der metallverarbeitenden Industrie gewidmet. Meine umfangreiche Erfahrung hat es mir ermöglicht, ein Experte auf den Gebieten der Blechverarbeitung, der maschinellen Bearbeitung, des Maschinenbaus und der Werkzeugmaschinen für Metalle zu werden. Ich denke, lese und schreibe ständig über diese Themen und bin stets bestrebt, in meinem Bereich an vorderster Front zu bleiben. Lassen Sie mein Wissen und meine Erfahrung zu einem Gewinn für Ihr Unternehmen werden.

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